黄先生的父亲因高烧被送入一家公立医院急诊，但医院以“人手不足”为由推迟入院，导致病情恶化抢救无效死亡。黄先生认为医院存在失职，并向卫生主管部门申诉未果。他是否可以通过行政诉讼要求追究医院及相关部门的法律责任？